Las raíces n-ésimas de la unidad


raices de la unidad


Variable Compleja

Cuando se trata de números complejos o variable compleja, muchas veces es útil pensar en ellos como transformaciones. El problema que nos interesa hoy es encontrar las n raíces de la unidad. Es decir


$z^n=1$                         (1.1)

Como es bien sabido, z = 1 es siempre una solución.


La multiplicación como transformación 



La multiplicación en el plano complejo es sólo una rotación de escalar. Por ejemplo 

$z_{1}=r_{1}e^{i\theta_{1}}$                        (1.2)


$z_{2}=r_{2}e^{i\theta_{2}}$                        (1.3)

Si multiplicamos (1.2) y (1.3) tenemos:


$z_{1}z_{2}=\underbrace{r_{1}r_{2}}_{\text{Escalar}}\underbrace{e^{i(\theta_{1}+\theta_{2})}}_{\text{Rotación}}$   (1.4)



Ahora bien, ¿qué significa encontrar las n raíces de la unidad? Si comienzas en 1 y realizas n rotaciones iguales, debes volver a terminar en 1. Sólo necesitamos encontrar los números complejos que hacen esto.


Como comentamos al inicio partimos desde la ecuación (1.1):


$z^{n}=1$

y luego multiplicamos n veces z 


$\underbrace{zz...z}_{\text{n}}=1$


Como sabemos, la variable compleja z es igual a:


$z=re^{i\theta}$    (1.5)

Al reordenar todo como en la ecuación (1.4) expresandolo en n términos de $z$ nos queda la siguiente expresión:


$r^{n}e^{i(\theta +\theta ...\theta)}=1e^{2\pi ki}$

Si hacemos $r=1$ y despejamos $\theta$ nos queda:


$\theta = \dfrac{2\pi  k}{n}$ con $r=1$

Al volver a la forma (1.5) tenemos:


$z=e^{\dfrac{2\pi ki}{n}}$
Recordemos que $r=1$ 

Si tomamos un círculo de radio unidad y los cortamos en n partes iguales; voila tenemos nuestras n raíces de la unidad.

circunferencia compleja


¿Que implica esto? o mejor dicho ¿Con que se come esto?

La respuesta es bastante simple, prácticamente hemos demostrado que $1=1$ y que la multiplicación por 1 es una rotación de 360° / 0°, dicho en otras palabras la multiplicación por 1 siempre dá el mismo resultado.

Cuando decimos que estamos multiplicando un número real positivo (digamos 1) con 1, obtenemos un número (1) que está en el mismo eje real positivo.

multiplicacion por 1



La multiplicación por (-1) es una rotación de 180º. 


Cuando se multiplica un número real positivo (digamos 1) con -1, entonces obtenemos un número (-1) que está en el eje real negativo. El acto de multiplicar 1 por (-1) ha dado lugar a una rotación de 180°. Y hacerlo nuevamente nos hace volver a 1.

multiplicacion por -1


Como esta es una entrada de variable compleja, no podemos dejar de lado al imaginario $i$, que por mas imaginario que sea, es mas real que cualquier otro número. La multiplicación por $i$ es una rotación de 90°. Similarmente multiplicando por $i$ toma 1 del eje real al eje imaginario, que es una rotación de 90°. Esto también se aplica a $-i$.


multiplicación imaginaria
A veces nos olvidamos del cierto grado de complejidad que implica demostrar algo tan trivial como esto y es que es aquí radica la belleza de las matemáticas.

Epsylonmag

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