El mito del número de oro y la sucesión de Fibonacci

¡Ah! el número aúreo... No existe hasta ahora un número en el que se deposite, y haya recibido, tanta devoción mistica y tantas alabanzas como en el número fi (φ).


sucesión de fibonacci en gif

El origen de la proporción aúrea


De divina proportione (en la proporción divina) es un texto escrito en Milan por  Luca Pacioli e ilustrado por Leonardo da Vinci en el año 1498 aunque este no fue publicado sino en el año 1509. El texto está enfocado en el estudio de las proporciones matemáticas y sus aplicaciones en la arquitectura, las artes y obviamente en la geometría de los objetos naturales.

Los pitagóricos


Los primeros en estudiar el número de oro fueron los pitagóricos.

En el siglo VI antes de cristo, el matemático y filósofo Pitagoras, en un intento por salvar su vida, salió como pudo de Samos, una isla de la antigua Grecia, huyendo de el tirano que reinaba en ella llamado Polícrates. Se establece en Crotona, Italia, y funda la "Hermandad Pitagórica" una especie de secta o culto, eufemísticamente llamada escuela de filosofía y matemáticas, en la que el era el gran maestre.

Todo es número -Los pitagóricos

Los Pitagóricos tenían miedo de que descubrieran su secta secreta, es por esta razón que decidieron identificarse con un simbolo secreto, este símbolo era la estrella de cinco puntas.

Sus estudios en geometría eran bastante avanzados, la estrella de cinco puntas fué hecha trazando las diagonales de un pentágono regular

Estudiándo la estrella descubieron que dividiendo el valor de la diagonal entre el valor de cualquiera de sus lados, el número que se obtenía era siempre el mismo, fi o Phi como también se le conoce.

Este nombre se le impuso en honor al escultor y arquitecto Phideas, autor de grandes obras en Grecia como el Partenón.

Euclides

Como dijimos mas arriba, el texto que escribió Luca Pacioli fué el que le dio el distintivo de deidad y de adoración al número de oro, pues fue este con su buena narrativa y con la ayuda de las maravillosas ilustraciones hechas por Leonardo Da Vinci las que maravillaron al público.

Sin embargo, Euclides fué el primero en hacer un estudio formal sobre el número aúreo quien lo definió de la siguiente manera:

Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor -
Euclides Los Elementos Definición 3 del Libro Sexto.

La sucesión de Fibonacci

¿Que es la serie de Fibonacci?

La serie de Fibonacci o sucesión de Fibonacci es, en pocas palabras, el gif que está al comienzo de esta entrada.

Si no te basta con esto, también te puedo decir que es una sucesión infinita de números naturales. Se construye con la suma de los 2 términos anteriores en la sucesión, es decir, si comenzamos desde 0 y 1, el tercer número volvería a ser 1 ya que 1+0 = 1, y el cuarto número sería 2, ya que 1+1 = 2.  La sucesión es entonces:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… hasta el infinito...

Esta sucesión fue descubierta por Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, matemático Italiano del siglo XIII. La sucesión descubierta por este matemático la podemos encontrar en varias formas y colores, desde la computación, pasando por los juegos, en el arreglo de unas flores e incluso hasta en la naturaleza.

Lamentablemente estas últimas afirmaciones no son del todo correctas como veremos mas adelante. La proporción aúrea y la sucesión de fibonacci son dos caras de la misma moneda.

El rectángulo dorado 

El rectángulo dorado, o también rectángulo áureo, es una figura construida a partir de la sucesión de Fibonacci, que posee una proporcionalidad entre sus lados igual a la proporción áurea. Se puede definir al rectángulo de oro de la siguiente manera:

es aquél rectángulo que al substraer la imagen de un cuadrado igual al de su lado menor, el rectángulo resultante es igualmente un rectángulo dorado. A partir de este rectángulo se puede obtener la espiral dorada, que es una espiral logarítmica.

Aunque esta es una definición muy confusa, lo mejor será ilustrarles este concepto a través de una imagen. La sucesión de Fibonacci se puede usar como aproximación del llamado rectágulo de oro.


aproximación del rectángulo de oro


La espiral de Fibonacci

La espiral de Fibonacci es una aproximación bastante cercana a la espiral de oro, Espiral dorada, espiral áurea o como se quiera llamar. Esta es una espiral logarítmica asociada a las propiedades geométricas del rectángulo dorado.

aproximación espiral aúrea


Muy atentos a esta espiral pues es el inicio de todo.

El número de oro matemáticamente hablando


Este número irracional se le conoce matemáticamente de la siguiente forma:

φ = (√5 + 1)/2 = 1.61803398875…
Curiosamente, este número se obtiene dividiendo cualquiera de los números de la sucesión de Fibonacci entre su antecesor, o por lo menos una aproximación a este.

Es decir, si dividimos cinco y tres el resultado sería: 5/3= 1.666. Si seguimos dividiendo el resultado se va acercando cada vez mas a la proporción aúrea, como por ejemplo: 13/8=1.625.

En el siguiente gráfico se observa como el valor de estas divisiones se van aproximando al valor de Phi.

aproximación del número fi por fibonacci

El mito acerca de la razón de oro


Muchos mitos hay acerca de este fascinante número, el mas común de escuchar es que la sucesión de Fibonacci se encuentra en todos lados ¡hasta en la borra del café!

caracol nautilus no es aúreo
Las conchas del caracol Nautilus se parece a una sucesión de Fibonacci, el problema es que no está ni cerca de serlo y no es mas que un mito. Si tienen la oportunidad de tener uno en sus manos no duden en medirlo e intenten ver si el valor resultante es igual al número aúreo.


Y la respuesta a estas afirmaciones, como dijimos anteriormente es ¡no! se puede decir que buena parte de lo poco o mucho que has oído de este número es simple propaganda amarillista, mitos muy bien propagados y bien remunerados o análisis que rayan en la extravagancia de los datos.

Existen infinidades de libros que se empecinan en esta charlatanería inventada.

Es fácil malinterpretar estas líneas. El número phi es realmente un número muy interesante con un conglomerado de propiedades matemáticas muy bien definidas.

Basta con salir a la calle o al campo para darnos cuenta de que muchas espirales que se dan en la naturaleza son espirales logarítmicas, y lo seguirán siendo independientemente de la escala. Este tipo de formaciones naturales son bastante comunes siempre que se tenga un crecimiento exponencial encerrado en un área circular

cola de camaleon no es aúreo
La cola del camaleon no forma una espiral aúrea



Las espirales logarítmicas son funciones exponenciales en coordenadas polares, sin embargo, las espirales logarítmicas que se dan naturalmente no son espirales de Fibonacci como muchas personas creen.

Lo que se conoce específicamente como el Fibonacci o espiral de Oro es muy difícil de encontrar en el entorno natural ¡La naturaleza no trabaja con cuadrados y rectángulos!

Si tienes la oportunidad de ver algún programa de TV o en alguna revista, verás que muchos diseñadores tratan de conservar, si es que no lo comentan, la proporción para que sea lo mas parecida a la proporción de oro pues esta es elogiada como lo mas hermoso y se establece como un dogma.

Varios estudios han demostrado que el número aúreo no tiene nada que ver con el sentido de la belleza o estética de las personas. (Ver enlaces al final de la publicación para más información sobre esto)


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Referencias:

  1. “Math Encounters — Fibonacci & the Golden Ratio Exposed” por Keith Devlin.
  2. “Fibonacci Flim Flam” por Donald E. Simanek
  3. “The golden ratio and aesthetics” por Mario Livio

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